Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, “Do you want to pick door No. 2?” Is it to your advantage to switch your choice?¹

# 如果说你更喜欢羊

这是个经典的游戏：游戏参与者面对三扇门，其中两扇门后面是山羊，一扇门后面是跑车。参与者只 要随便选一扇门，门后面的东西就归他（跑车的价值当然更大）。但是主持人决定帮一下参与者：在 他选择之后，先不急着打开这扇门，而是由主持人打开剩下两扇门中的一扇，展示其中的山羊（主持 人知道每扇门后面是什么），然后给参与者一次换门的机会，此时参与者应该换门还是不换门呢？

为了防止第一次看到这个问题的读者迷惑，再具体描述一下这个问题：

你是游戏参与者，现在有门 1,2,3，假设你随机选择了门 1，然后主持人打开了门 3 告诉你那后面 是山羊。现在，你是坚持你最初的选择门 1，还是选择换成门 2 呢？

这个问题被称为“蒙提霍尔问题”（Monty Hall Problem），是一道经典的概率题。直觉上，很多人会 认为换门与否的获得跑车机会是对半的，但实际上，换门可以显著提高获得跑车的概率。

# 那么请你不要换门

根据游戏规则：你第一次选中的门有跑车的概率是 1/3，选到山羊的概率是 2/3。主持人会打开一扇 剩下的门，并且那扇门一定是一只山羊。因此，如果你最初选中的是一只山羊（概率为 2/3），换门 后一定会选中跑车。如果你最初选中的是跑车（概率为 1/3），换门后会选中山羊。

通过换门，获得跑车的概率从 1/3 提升到了 2/3。

上图是假设参赛者初始选择一号门的所有情况，样本空间共包括4种可能的结果。

# 习惯性附上代码

import random

def monty_hall_simulation(num_trials=10000):
    switch_wins = 0
    stay_wins = 0

    for _ in range(num_trials):
        # 随机选择哪扇门后面有跑车
        doors = [0, 0, 1]  # 0 表示山羊，1 表示跑车
        random.shuffle(doors)

        # 参与者随机选择一扇门
        initial_choice = random.randint(0, 2)

        # 主持人打开一扇山羊的门
        available_doors = [i for i in range(3) if i != initial_choice and doors[i] == 0]
        host_opens = random.choice(available_doors)

        # 模拟换门
        switch_choice = [i for i in range(3) if i != initial_choice and i != host_opens][0]

        # 如果换门后是跑车，增加换门获胜次数
        if doors[switch_choice] == 1:
            switch_wins += 1

        # 如果不换门，直接判断原选择是否跑车
        if doors[initial_choice] == 1:
            stay_wins += 1

    # 输出结果
    print("模拟结果：")
    print(f"换门获胜的概率: {switch_wins=} / {num_trials=} ≈ {switch_wins / num_trials:.2f}")
    print(f"不换门获胜的概率: {stay_wins=} / {num_trials=} ≈ {stay_wins / num_trials:.2f}")

#运行模拟
monty_hall_simulation()

# 模拟的不算数？有请贝叶斯法则

When the facts change, I change my mind. What do you do, sir?²

## 问题回顾和贝叶斯建模求解

• 有 3 扇门，其中 1 扇门后面是跑车，另外 2 扇门后面是山羊。
• 你选择了一号门后，主持人会打开另外两扇门中有山羊的一扇门。
• 在这种情况下，你有一次换门的机会以获得更高价值的奖品，问题是是否应该换门。

贝叶斯法则（或贝叶斯定理）是一个公式，用来描述在给定证据（E）的情况下，如何更新假设（H） 是正确的的概率。

在这个例子中，它描述的是在主持人打开了一扇门，显示是山羊后，更新我们最初选择的门后面有车 的概率（也就是坚持最初选择是正确的概率）。假设 H 是“1号门后面有车”的假设，E 是主持人展示 了一扇门后面是山羊的证据。那么，这个问题可以重新表述为计算 P(H∣E)，即在给定 E 的情况下， H 成立的条件概率。

$$ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E)} = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|notH) \cdot P(notH)} $$

其中，

• $P(H)$ 是“1号门后面有车”的先验概率，也就是开始时的三选一情况，这个概率等于$1/3$。
• $P(notH)$ 是“1号门后面有车”的互斥事件，也就是说这个概率等于$1 - 1/3 = 2/3$。
• $P(E|H)$ 是给定1号门后面有车的情况下，主持人打开一扇后面有羊的门的概率。然而主持人一定 打开后面有羊的门，所以这个概率是$1$。
• $P(E|notH)$ 是给定1号门后面是羊的情况下，主持人打开一扇后面有羊的门的概率。然而主持人 一定打开后面有羊的门，所以这个概率是$1$。

综上所述，有：

$$ P(H|E) = \frac{1 \times 1/3}{1 \times 1/3 + 1 \times 2/3} = 1/3 $$

也就是说，“1号门后面有车”的概率，完全不受到主持人开门事件的影响。但是，鉴于跑车要么在你 选择的门后面，要么在尚未打开的另一扇门，则后者的概率变成了 $2/3$。所以，如果选择换门则得 到跑车的概率翻倍。

# 变体问题

如果主持人是随机打开一扇门呢？³（也就是说：如果随机打开的门后是跑车，游戏结束；否则游戏继续）