Bernstein 基函数是贝塞尔曲线（Bezier curve）的一个重要组成部分。它们定义了一组基函数，通 常用于表示参数化曲线，尤其是 Bézier 曲线。对于 Bézier 曲线，Bernstein 基函数定义如下：

对于给定的阶数 $n$，第 $i$ 个 Bernstein 基函数 $B_{i,n}(t)$ 的表达式为：

$$ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n-i} $$

其中：

• $n$ 是 Bézier 曲线的阶数（即控制点的数量减 1）。
• $i$ 是当前的基函数索引，取值范围为 $0 \leq i \leq n$。
• $t$ 是参数，取值范围通常为 $0 \leq t \leq 1$。
• $\binom{n}{i}$ 是二项式系数，表示为 $\frac{n!}{i!(n-i)!}$。

## Bernstein 基函数的特性：

1. 非负性：在 $0 \leq t \leq 1$ 的范围内，所有 Bernstein 基函数的值都是非负的。
2. 分片多项式性：Bernstein 基函数是 $t$ 的多项式函数。
3. 端点插值：当 $t = 0$ 或 $t = 1$ 时，只有一个基函数的值不为 0，而该函数的值为 1。 这意味着 Bézier 曲线会精确地通过其起点和终点。
4. 分区一致性：所有基函数在任意 $t$ 下的和为 1，即 $$ \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) = 1 $$ 这一特性确保了 Bézier 曲线的凸包性质，即曲线位于控制点构成的凸包内。

Bernstein 基函数在图形学、曲线和曲面的建模中应用广泛，特别是在 Bézier 曲线和 Bézier 曲面 的表示中起到了基础作用。